Fungsi Logika Matematika FUNGSI LOGIKA MATEMATIKA

1. ( ( p ^ q ) v r ) ⊕ r

Dalam sebuah pulau terpencil hanya hidup dua jenis manusia, jenis pertama adalah kaum ksatria yang selalu mengatakan kebenaran, dan jenis kedua adalah kaum penjahat yang selalu mengatakan kebohongan. Suatu hari anda mengunjungi pulau tersebut dan berbicara dengan dua orang penduduknya.
X berkata: Y adalah seorang ksatria
Y berkata: X dan saya memiliki jenis yang berlawanan.
Jenis apakah X dan Y?

Jawaban:
Misalkan X adalah seorang ksatria, maka Y adalah ksatria (karena ucapan X adalah kejujuran), tetapi hal itu kontradiksi dengan apa yang dikatakan Y bahwa mereka memiliki jenis yang berlawanan. Jadi X tidak mungkin seorang ksatria.
Misalkan X adalah seorang penjahat, maka Y adalah penjahat (karena ucapan X adalah kebohongan) dan karena Y adalah seorang penjahat maka X dan Y memiliki jenis yang sama. Jadi dapat disimpulkan bahwa X dan Y keduanya adalah penjahat.

LOGIKA MATEMATIKA

A. Pernyataan

Kalimat ada 2 macam :

1. Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 3x + 5 = 10

1. Kalimat tertutup ( pernyataan ) adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 5 + 6 = 11

B. Negasi , Disjungsi , Konjungsi , Implikasi , Biimplikasi

Negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan , jika sutau pernyataan bernila benar , maka ingkarannya bernilai salah, begitu pula jika pernyataan bernilai salah maka ingkarannya bernilai benar. Simbolnya : ~

Disjungsi adalah operasi logika “ atau “ symbol : V, suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau’  akan bernilai salah, jika kedua pernyataanya bernilai salah. Sedangkan lainnya benar.

Konjungsi adalah operasi logika “ dan “ symbol : Λ , suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “dan” akan bernilai benar Jika nilai kedua pernyataanya bernilai benar. Sedangkan lainnya salah.

Implikasi adalah operasi logika “ jika … maka…”, symbol : => , Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan “jika..maka…” akan bernilai salah , jika pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah. Sedang lainnya bernilai benar.

Biimplikasi adalah operasi logika “jika dan hanya jika” atau implikasi dua arah. Symbol  “ó” ,Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh “jika dan hanya jika’ akan bernilai benar jika kedua pernyataanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah.

TABEL KEBENARAN

p	q	~ p	pVq	p Λq	p => q	pó q
B	B	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S	S
S	B	B	B	S	B	S
S	S	B	S	S	B	B

C. TAUTOLOGI , KONTRADIKSI , DUA PERNYATAAN YANG EKUIVALEN

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya benar (“B”) semua..

Contoh : (pΛq) => q

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya salah (“S”) semua.

Dua pernyataan majemuk disebut ekuivalen , jika mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh :

~(pVq) ≡ ~p Λ ~q

~(p Λ q) ≡ ~p V ~q

~(p=>q) ≡ p Λ ~q

D. IMPLIKASI, KONVERSI , INVERSI , KONTRAPOSISI

Implikasi : p => q

Konversi : q => p

Inversi : ~p => ~q

Kontraposisi : ~q => ~p

Contoh :

Implikasi : Jika saya ke Bandung , maka saya membeli sepatu.

Konversi : Jika saya membeli sepatu , maka saya ke Bandung.

Inversi : Jika saya tidak ke Bandung, maka saya tidak membeli sepatu.

Kontraposisi : Jika saya tidak membeli sepatu, maka saya tidak ke Bandung.

E. PENARIKAN KESIMPULAN

Premis 2 : p

Konklusi : q

Premis 2 : ~ q

Konklusi : ~ p

Premis 2 : q => r

Konlusi : p=>r

Contoh :

1. Modus ponen

Premis 1 : Jika hujan turun, maka halaman basah.

Premis 2 : Hari ini hujan turun

Kesmpulan : Hari ini halaman basah.

2.Modus Tollens

Premis 1 : Jika makan cabe , maka terasa pedas.

Premis 2 : Tidak merasa pedas.

Kesimpulan : Tidak makan cabe.

3.Silogisme

Premis 1 : Jika berenang pagi , maka akan kedinginan.

Premis 2 : Jika kedinginan , maka akan minum kopi panas.

Kesimpulan : Jika berenang pagi, maka akan minum kopi panas.

SOAL

A.Buktikan bahwa proposisi berikut “TAUTOLOGI” !!

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }
{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }
{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)
{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r)}
(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)

B.Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Proposisi berikut,Kemudian tentukan kebenarannya!

Jika x=5 , Maka x^2=25
Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli
Jika ∆ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C

Jawaban

A.Pembuktian “TAUTOLOGI”

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }
Jawab :
p q r { ( p v q ) ⇒ r } ⇔ { ( p ⇒r ) ∧ (q ⇒ r ) }
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B B B B B B B
B S S B S B S S B
S B B B B B B B B
S B S B S B B S S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }
Jawab :
p q r { p ⇒ (q ∧ r) } ⇔ { (p ⇒ q) ∧ ( p ⇒r ) }
B B B B B B B B B
B B S S S B B S S
B S B S S B S S B
B S S S S B S S S
S B B B B B B B B
S B S B S B B B B
S S B B S B B B B
S S S B S B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)}
Jawab :
p q r ∼q ∼r { (p ∧ q ) ⇒ r } ⇔ { (p ∧ ∼r) ⇒∼q )}
B B B S S B B B S B
B B S S B B S B B S
B S B B S S B B S B
B S S B B S B B B B
S B B S S S B B S B
S B S S B S B B S B
S S B B S S B B S B
S S S B B S B B S B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r) }
Jawab :
p q r {(p ∧ q ) ⇒r } ⇔ {(p ⇒ r) v (q ⇒ r )}
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B S B B B B B
B S S S B B S B B
S B B S B B B B B
S B S S B B B B S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)
Jawab :
p q r (p⇒r) ⇒ { (p∧q) ⇒ r } ∧ { p ⇒ (q∧r)} ⇒ (p ⇒ q)
B B B B B B B B B B B B
B B S S B B S B S S B B
B S B B B S B B B S B S
B S S S B S B B B S B S
S B B B B S B B B B B B
S B S B B S B B B S B B
S S B B B S B B B S B B
S S S B B S B B B S B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

Jawaban

B.Konvers, Invers, Kontraposisi dan Tabel Kebenaran

Jika x=5 , Maka x^2=25
Jawab :

p : x =5
q : x^2=25

konvers (q ⇒p)
Jika x^2=25 , maka x=5

Invers (∼p⇒∼q)
Jika x≠5 , maka x^2≠25

Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika x^2≠25 , maka x≠5

Negasi (p∧∼q)
x=5 , akan tetapi x^2≠25

Tabel Kebenaran
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s

Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli
Jawab :

p : x^2 bilangan asli
q : x bilangan asli

konvers (q ⇒p)
Jika x bilangan asli, maka x^2 bilangan asli

Invers (∼p⇒∼q)
Jika x^2 bukan bilangan asli , maka x bukan bilangan asli

Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika x bukan bilangan asli, maka x^2 bukan bilangan asli

Negasi (p∧∼q)
x^2 bilangan asli, akan tetapi x bukan bilangan asli

Tabel Kebenaran
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s

Jika ∆ ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C
Jawab :

p : ∆ ABC sama kaki
q : ∠A= ∠C

konvers (q ⇒p)
Jika ∠A= ∠C, maka ∆ ABC sama kaki

Invers (∼p⇒∼q)
Jika ∆ ABC bukan sama kaki , maka ∠A ≠∠C

Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika ∠A ≠∠C, maka ∆ ABC bukan sama kaki

Negasi (p∧∼q)
∆ ABC sama kaki, akan tetapi ∠A ≠∠C

Tabel Kebenaran
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s